20センター試験数学ⅡBの分析

第1問(必答問題)
[1]三角関数
 (1)は三角不等式を解く問題。加法定理で変形し,三角関数を合成するとsinに関する単純な不等式ができる。レベルは基本。
(2)はsinθ,cosθを解にもつ2次方程式に関する問題。解と係数の関係からsinθ+cosθ,sinθcosθの値を求め,sinθ+cosθの平方と結びつける。そして,sinθ,cosθの値から,角度の範囲を求める流れ。レベルは標準。
[2]指数関数・対数関数
 (1)は指数関数を使った条件式から,式の値を求める問題。対称式の扱いがKeyとなる。レベルは基本。
(2)は対数不等式を解く問題。対数の性質を使って式を変形すれば,X,Yの連立不等式に帰着する。あとは,底が3の対数は真数が大きいほど大きいことが分かっていれば手が止まることはないだろう。レベルは標準。

第2問(必答問題)
 二つの放物線と,それらの共通接線で囲まれた部分に関する問題。(1)では共通接線の方程式を求めるが,誘導が丁寧で解き易い。(2),(3)は二つの放物線と共通接線で囲まれた部分の面積に関する設問になっているが,計算量が多い。放物線とその接線で囲まれた部分の面積を求める積分では,被積分関数が完全平方型になっていることを利用すると計算が少し楽になる。(4)は求めたaの3次関数の最大値を求めるが,定義域内では極大値しかなく,そこが最大値になる。レベルは標準。

第3問(選択問題)
 漸化式を解く問題。誘導は丁寧だが,式が複雑なので,途中の式変形を何のために行っているのかしっかりと確認しながら解く必要がある。(4)は実質,整数に関する余りの問題で,3で割った余りで分類していることと,連続するする二つの整数の積は2で割り切れることがKeyになる。レベルは標準。

第4問(選択問題)
 空間ベクトルの関する問題。これも誘導に従って解いていくことになるが,ベクトルの各成分が,共通な因数を持っているときは,その因数でくくったあとの成分で考えると見通しがよくなることが多い。まさにこの問題は,そうすることで,計算および図形的な性質が見抜けると思う。レベルは標準。

第5問(選択問題)
 選択する受験生は少ないと思うので,分析は省略する。

【総評】誘導が丁寧なので,方針を立てるのはさほど難しくないが,計算量が多く,かつ複雑である。おそらく数学ⅡBの受験者は,理系の人が多いと思われるが,考え方ももちろん大切だけれど,計算をサクサク進められることも同じくらい大切だぞとの,メッセージなのかも知れない。去年にもまして計算が面倒なので,平均点は下がると思われる。

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