数学は抽象的な科目だと言われますが，それを意識したことはあるでしょうか？
そもそも抽象的とはどういう事でしょう。辞書を引いてみると
「いくつかの事物・表象から共通する性質を引き出し，それを一般化して思考するさま」（明鏡国語辞典より）
とあります。
共通する性質を引き出す？一般化？？思考するさま？？？ ふう。読むだけで疲れる。そうですよね。
では，あれこれ考える前に，
具体的（？）に数学の抽象化の例を挙げてみます。びっくりするほど，あっさりしています。
数学では，偶数（２で割って割り切れる数）をｎを自然数として，２ｎと表します。
これが抽象化です。「え？」と思った人もいるのでは？
たった２ｎと書いただけ。これがあの「いくつかの事物・・・思考するさま」なのでしょうか。
そうです。これでいいのです。（ちなみに２ｎは「２かけるｎ」のことです。）
抽象化を進めれば進めるほど，表現は単純になります。
偶数と言って思い浮かべるのは，２とか１０とか３６とかだと思いますが，
「思い浮かぶだけ，偶数を言ってごらん」と言われたら，もう終わりのない作業になります。
生涯かけても終わりません。人生の無駄です。何故なら，偶数は無限にあるから・・・。
しかし「偶数は２ｎと表現します。」といったら，これだけで，無限にある偶数を全部（本当は無限にあるもの
は全体もないので，全部などと言えないのですが・・・）一言でいったことになります。
偶数の「２で割って割り切れるもの」という共通な性質を２ｎは過不足なく表現しているのです。
次は具体化です。抽象化したものは，実際に利用するときは具体化して考えます。
先ほど思い浮かんだ２とか１０とか３６は，具体化した偶数です。
では，抽象化（偶数２ｎ）→具体化（２とか１０とか３６）の手続きは？
２ｎという表現において，ｎは自然数（ものを数えるときの数）なのだから，ｎを１にしてみます。
ｎという抽象的な数を具体的な数１に書きかえることを，ｎに１を代入するといいます。
すると，２×１＝２
具体的な数２が出てきました。
ところで，
「ｎに１を代入してごらん」と指示すると，
「２×１ｎ」のようにｎが残ったまま１を書く人が意外と多くいます。
ｎに１を代入するときは，ｎが１に書き換わる「抽象化→具体化の変換」なので，ｎが残るはずはありません。
気を付けましょう。
つぎにｎに５を代入してみましょう。２×５＝１０
さらにｎに１８を代入すると，２×１８＝３６
ほらほら，ｎに適当な自然数を代入することで，次々と具体的な偶数が作られていきます。
中学以上の数学は，まさにこの抽象化，具体化を文字式を使いながら行っていきます。
だから，具体的にわからなければ抽象的な表現を，抽象的にわからなければ具体的な表現を
と意識しながら進めると，意外に理解が進むかもしれません。
少し，話題はそれますが，人類がこの数学という抽象的な表現方法を手に入れたことにより，
自分たちの生活する環境を、いやもっと大きく宇宙全体を考えることができるようになりました。
人類以外の生物には決してできないことです。
そして，今や，物理学という，数学を表現手段とする学問で，宇宙の全てをたった一つの数式で表そうという
すごいことを研究している人々もいます。
興味があれば，そういった関係の本も出版されているので読んでみてはどうでしょう。
抽象化，おそるべし！具体化，たのしきかな！