比について [math]a：b=ma：mb[/math] が成り立つことを数学 Chips 01 で確認しました。そして，[math]ma：mb[/math] で [math]m=\cfrac{1}{b}[/math] とすれば

[math]\cfrac{a}{b}：1[/math]

となり，[math]\cfrac{a}{b}[/math] が [math]a：b[/math] の比の値になることも説明しました。

今回は，この [math]α：1[/math] の形の比を利用した，量の比較をいくつか考えてみましょう。

　まず，氷上をスケーターがまっすぐに滑っていくところを想像してください。ここで，氷の川が直線上にずっと続いていて，スケーターは川の走りに沿って曲がることなく真っ直ぐに滑っています。しかも，滑り出す直前に背中を押してもらい，その後は惰性で，力を入れることなく，風もまったくない状態で滑っていくことを考えます。
このような場合，スケーターが滑った時間と滑った距離の間には，滑った時間が 2 倍になれば滑った距離が 2 倍になり，滑った時間が 3 倍になれば滑った距離が 3 倍に，・・・というような関係があります。
このときは

（滑った距離）：（滑った時間）

という比を考えることができます。
なぜなら，滑った距離を [math]m[/math] 倍したとき，滑った時間も [math]m[/math] 倍され，その比の値が変わらないからです。（この比の値がいろいろ変わるようであれば，比を考えてもそれほど意味がありません。）

いま，[math]2[/math] 秒間滑ったとき滑った距離が [math]18[/math] [math]\mathrm{m}[/math] だったとしましょう。 このとき比は

[math]18：2[/math]

です。もちろんこの比は [math]72：8[/math] としたり，[math]180：20[/math] とすることができます。そして，[math]\cfrac{18}{2}：\cfrac{2}{2}[/math] すなわち [math]9：1[/math] とすると比の値が [math]9[/math] であると考えられます。
これを滑った時間と距離の関係としてみれば，[math]1[/math] 秒で [math]9[/math] [math]\mathrm{m}[/math] 進むということになります。
ところで，ある量を [math]1[/math] とした場合，その量を単位量といいます。したがって，単位量 [math]1[/math] 秒あたりの移動距離は [math]9[/math] [math]\mathrm{m}[/math] であるといえます。そして，これが速さといわれるものなのです。言い替えれば，
比

(移動距離)：(移動にかかった時間)

において，比の値は速さになるのです。

それでは，次の問題を考えてみましょう。
けんじさんは [math]50[/math] [math]\mathrm{m}[/math] を [math]10[/math] 秒で走りました。まなみさんは [math]90[/math] [math]\mathrm{m}[/math] を [math]15[/math] 秒で走りました。けんじさんとまなみさんはどちらが速く走っているでしょうか。

この問題では，単純に走った距離を比べても意味がありません。2 人の走った距離はその走った時間が違うのですから。そこで

(移動距離)：(移動にかかった時間 ）

の比の値，すなわち単位時間あたりの移動距離である速さを考えるわけです。
　けんじくんは [math]50：10[/math] より [math]5：1[/math]
　まなみさんは [math]90：15[/math] より [math]6：1[/math]
よって，けんじくんは [math]1[/math] 秒間に [math]5[/math] [math]\mathrm{m}[/math] 走り，まなみさんは [math]1[/math] 秒間に [math]6[/math] [math]\mathrm{m}[/math] 走っているので，まなみさんがけんじくんより速く走っていることがわかります。

　このように，比の値が一定の 2 つの量の間の関係を比例関係といい，この関係があるときは単位量あたりの大小を考えることで，上の問題と同様にいろいろな量を比較することができます。

次のような問題を考えてみましょう。
鉄管 A は [math]5[/math] [math]\mathrm{m}[/math] で [math]185[/math] [math]\mathrm{kg}[/math] であり，鉄管 B は [math]7[/math] [math]\mathrm{m}[/math] で [math]203[/math] [math]\mathrm{kg}[/math] です。同じ長さで考えた場合，重いのは A，B どちらの管でしょうか。

普通，鉄管はその長さと重さは比例関係にあると考えられます。すなわち，鉄管の長さが 2 倍になれば重さも 2 倍になり，長さが 3 倍になれば重さも 3 倍になるという具合です。とすると

（鉄管の重さ）：（鉄管の長さ）

という比を考え，その比の値を考えることができそうです。
　鉄管 A では [math]185：5[/math] より [math]37：1[/math]
　鉄管 B では [math]203：7[/math] より [math]29：1[/math]
なので，[math]1[/math] [math]\mathrm{m}[/math] あたりの重さは A が [math]37[/math] [math]\mathrm{kg}[/math] で B が [math]29[/math] [math]\mathrm{kg}[/math] となり A の方が重くなります。すなわち，A，B が同じ長さの場合 A が重いといえるのです。

　[math]a÷b=\cfrac{a}{b}[/math] はわり算を分数になおす式で，小学校で学ぶ公式です。例えば [math]2÷3=\cfrac{2}{3}[/math] のようにします。

[注意]今後の説明において [math]a>0，b>0[/math] とします。

　また，[math]\cfrac{a}{b}[/math] は [math]b[/math] をもとにしたときの [math]a[/math] の割合といういい方もします。[math]a[/math] が比べる量，[math]b[/math] がもとにする量です。また [math]a[/math] と [math]b[/math] の比は [math]a：b[/math] であり，比の値が [math]\cfrac{a}{b}[/math] であるともいいます。

　比の値（割合）は，例えば次のような問題を考えるのに役立ちます。

【問題】バスケットのシュートを，あきらくんは 8 回して 4 回入りました。まゆみさんは 12 回して 9 回入りました。この結果からどちらがシュートがうまいと判断できますか。

［解答］あきらくんのシュートの入った割合は，
　シュート数をもとにしたときの成功したシュートの割合で考えると 　　
　　　　　　　　　　　　　 　[math]\cfrac{4}{8}=0.5[/math]
　同様に，まゆみさんの割合は [math]\cfrac{9}{12}=0.75[/math]
　したがって，[math]0.5<0.75[/math] であるから，
　まゆみさんがあきらくんよりシュートがうまいと判断できる。

【問題】A city の人口は 13,205人，B city の人口は 53,902人です。ある感染症に感染した人が A city では，5,507人，B city では 16,503人です。感染はどちらの city により広がっていると考えられますか。

［解答］A city で，人口をもとにした感染者の割合は
　[math]5507÷13205≒0.4170…[/math] よりおよそ [math]0.42[/math]
　同様に B city での割合は
　[math]16503÷53902=0.306…[/math] よりおよそ [math]0.31[/math]
　したがって，[math]0.31<0.42[/math] であるから，
　A city が B city より感染が広がっていると考えられる。

　分数 [math]\cfrac{a}{b}[/math] は，分子と分母に同じ数をかけてもその値が変化しません。例えば [math]\cfrac{1}{2}=1÷2=0.5[/math] ですが，この分数の分子と分母に同じ数 4 をかけても [math]\cfrac{4}{8}=4÷8=0.5[/math] となります。
よって， [math]m>0[/math] としたとき，2 つの比 [math]a：b[/math] と [math]ma：mb[/math] について

[math]a：b=ma：mb[/math]

が成り立つことになります。ところで比 [math]a：b[/math] において，先ほどの [math]m[/math] を [math]m=\cfrac{1}{b}[/math] とすれば

[math]a：b=\cfrac{a}{b}：1[/math]

が成り立ちますが，[math]\cfrac{a}{b}[/math] は [math]a：b[/math] の比の値になっています。すなわち [math]α：1[/math] という比において，その比の値は [math]α[/math] ということになるのです。
このことはとても重要で，比の値を利用した上述の【問題】のようなもの以外に，もっといろいろな量的関係を調べるのに役立ちます。その詳細は次の【数学Chips 02】においてお話ししたいと思います。

標準カリキュラム

以下の内容が「中学数学」よおび「高校数学」の標準的なカリキュラムになります。進度は理解度に応じて，適宜調整して進めます。

中学数学
第 1週　　正負の数
第 2週　　文字式①
第 3週　　文字式②
第 4週　　平方根・式の値
第 5週　　方程式①
第 6週　　方程式②
第 7週　　方程式③
第 8週　　比例・反比例
第 9週　　一次関数①
第10週　　一次関数②
第11週　　二次関数①
第12週　　二次関数②
第13週　　二次関数③
第14週　　平面図形①
第15週　　平面図形②
第16週　　平面図形③
第17週　　平面図形④
第18週　　空間図形①
第19週　　空間図形②
第20週　　空間図形③
第21週　　確率①
第22週　　確率②
第23週　　確率③
第24週　　統計

高校数学
第 1週　　数と式①
第 2週　　数と式②
第 3週　　二次関数①
第 4週　　二次関数②
第 5週　　二次方程式
第 6週　　関数のグラフと方程式
第 7週　　不等式
第 8週　　式と証明
第 9週　　整数①
第10週　　整数②
第11週　　場合の数
第12週　　確率①
第13週　　確率②
第14週　　平面図形
第15週　　空間図形
第16週　　三角関数①
第17週　　三角関数②
第18週　　指数関数
第19週　　対数関数①
第20週　　対数関数②
第21週　　数列①
第22週　　数列②
第23週　　導関数
第24週　　接線・関数の増減
第25週　　最大・最小の問題
第26週　　方程式・不等式の問題
第27週　　積分の計算①
第28週　　積分の計算②
第29週　　面積
第30週　　ベクトル①
第31週　　ベクトル②
第32週　　統計
第33週　　いろいろな関数の導関数
第34週　　いろいろな関数の積分
第35週　　複素数平面
第36週　　二次曲線